SEINT：一种高效不变的传输度量方法

> ### 摘要 > 本文介绍了一种新型度量方法——SEINT（SE(p)-Invariant Neural Transport），其核心特性为SE(p)不变传输。SEINT无需训练即可构建SE(p)不变表示，将高维结构信息高效压缩为严格满足度量公理的一维表征，并直接用于最优传输（Optimal Transport, OT）对齐。该方法在保障数学严谨性与不变性的同时，显著提升计算效率，为复杂结构数据的快速、鲁棒对齐提供了新范式。 > ### 关键词 > SEINT；SE(p)不变；最优传输；一维表征；无训练 ## 一、SEINT的理论基础 ### 1.1 SEINT的基本概念与原理 SEINT（SE(p)-Invariant Neural Transport）并非依赖深度网络拟合或大规模参数优化的“黑箱”工具，而是一条回归数学本源的简洁路径——它不训练、不迭代、不采样，仅通过精巧的代数构造，将纷繁复杂的高维结构信息，凝练为一条严格满足度量公理的一维表征。这种“压缩”，不是信息的粗暴削薄，而是对SE(p)对称性本质的忠实提取：无论输入数据经历刚体变换（旋转、平移、反射），其SEINT值恒定如一。正因如此，它天然适配最优传输（Optimal Transport, OT）框架——无需反复求解高维耦合矩阵，仅凭一维分布间的Wasserstein距离，即可完成跨域结构对齐。这是一种克制的智慧：以不变应万变，以一维驭高维，在效率与严谨之间，划出一道清晰而坚定的边界。 ### 1.2 SE(p)不变性的数学基础 SE(p)不变性并非经验性归纳，而是植根于欧几里得群SE(p) = ℝᵖ ⋊ SO(p)的群作用不变性本质。SEINT所构建的表示，显式地消除了平移与正交变换带来的自由度干扰——其设计逻辑直指群表示论中“不变量”的经典范式：对任意g ∈ SE(p)，输入结构X与变换后结构g·X，其SEINT值完全相等。这一性质不依赖数据分布假设，不引入近似误差，亦不牺牲度量结构；它从定义出发，确保三角不等式、非负性、同一性与对称性全部成立。在形式化表达上，SEINT不是学习一个函数，而是解析地构造一个SE(p)-轨道上的典范标量，使每一次计算都成为一次对几何对称性的确认。 ### 1.3 SEINT与传统方法的对比 相较依赖神经网络嵌入的传统OT对齐方法，SEINT彻底跳出了“以模型拟合不变性”的范式陷阱：后者需海量数据训练、面临泛化脆弱性与可解释性缺失；而SEINT无训练、零参数、即插即用。相较于手工设计的不变特征（如形状上下文或Zernike矩），SEINT不牺牲表达能力——它完整保留高维结构的拓扑与几何判别力，仅将其映射至具备严格度量结构的一维空间。当其他方法在精度与速度间艰难权衡时，SEINT以数学确定性同时兑现二者：不变性不再是一种统计近似，而是一种必然；效率不再以牺牲理论保障为代价，而成为不变性自然导出的结果。这不仅是技术路径的更迭，更是对“何为可靠度量”的一次郑重回答。 ## 二、SEINT的算法实现 ### 2.1 SEINT的一维表征构建过程 SEINT的一维表征并非降维意义上的“投影”或“近似”，而是一次对高维结构内在对称本质的精准锚定——它不依赖梯度下降，不调用反向传播，甚至不接触单个训练样本。其构建过程如一道静默的几何宣言：给定任意输入结构（点云、图、张量等），SEINT通过解析构造一组SE(p)-协变矩与不变标量函数的组合，在代数层面直接剥离平移与旋转自由度，最终收敛于一个唯一确定的实数值。这个数值不是统计均值，不是经验阈值，而是该结构在SE(p)群轨道上的典范代表；它像一枚刻有几何铭文的印章，盖下即得，无需校准，不可篡改。正因如此，“一维”在此绝非能力的退让，而是力量的凝练——将原本需在ℝᵈ（d ≫ 1）中艰难比对的结构关系，收束至ℝ上可严格排序、可精确求距、可无歧义对齐的标量轴线。这根轴线不随视角偏移而颤动，不因坐标重设而漂移，它稳稳立于不变性的基石之上，静待最优传输的轻舟驶入。 ### 2.2 高维结构信息的压缩策略 SEINT对高维结构信息的压缩，是一场拒绝妥协的精炼仪式。它不丢弃局部细节以换取速度，亦不模糊全局拓扑以迁就低维表达；相反，它以SE(p)不变性为筛网，滤去所有由刚体变换引入的冗余自由度，仅保留那些真正刻画结构“身份”的判别性不变量。这种压缩不靠学习权重来加权特征，而靠群作用下的代数约化——将原始数据映射至SE(p)轨道空间中的自然坐标，再经单调、连续且保序的标量化映射，生成具备全序结构的一维表征。高维的复杂性未被抹平，而是被重新组织：相似结构在该一维轴线上必然邻近，差异结构则天然分离。它不承诺保留所有原始维度，却庄严承诺——保留一切足以支撑严格度量比较的结构语义。这是一种克制的丰饶：维度坍缩了，但判别力未曾稀释；表达简化了，但数学忠实性毫发无损。 ### 2.3 保持严格度量性质的方法 SEINT保持严格度量性质，并非通过事后验证或松弛近似，而是从定义之初便将度量公理内嵌于构造逻辑之中。其输出的一维表征天然构成ℝ上的标准欧氏距离基础：任意两个结构X、Y的SEINT值之差的绝对值，即为其SEINT距离；该距离自动满足非负性（|SEINT(X)−SEINT(Y)| ≥ 0）、同一性（当且仅当X与Y在SE(p)下等价时距离为零）、对称性（|a−b| = |b−a|）及三角不等式（|a−c| ≤ |a−b| + |b−c|）。这一切不依赖经验正则化，不仰仗大样本收敛，而源于SE(p)-轨道标量化映射的单调性、连续性与群作用兼容性。换言之，SEINT不是“近似满足”度量，它就是度量——一种在不变性约束下依然完整承载度量灵魂的一维实现。当其他方法在“快”与“准”之间反复折衷时，SEINT以数学的确定性宣告：严谨不必昂贵，简洁亦可庄严。 ## 三、总结 SEINT作为一种新型度量方法，以SE(p)不变传输为核心特性，成功实现了无需训练的SE(p)不变表示构建，将高维结构信息严格压缩为一维表征，并直接支撑最优传输（Optimal Transport, OT）对齐。该方法在保持数学上严格度量性质（非负性、同一性、对称性、三角不等式）的同时，显著提升运算效率，规避了传统神经网络方法对大规模训练、参数调优与分布假设的依赖。其理论根基深植于欧几里得群SE(p)的代数结构，通过解析构造而非数据拟合实现不变性，确保每一次计算均为对几何对称性的确定性确认。SEINT不仅是一种技术改进，更代表了一种回归数学本源的度量范式——以不变性为锚，以一维性为刃，在效率、严谨与可解释性之间达成统一。